Функция распределения f x непрерывной случайной величины. Найти функцию распределения F(x). Задания для самостоятельной работы

4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Непрерывную случайную величину можно задать с помощью функции распределения F (x ) . Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда её называют дифференциальной функцией).

Определение4.1: Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х называют функцию f (x ) - первую производную от функции распределения F (x ) :

f ( x ) = F "( x ) .

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащие интервалу (a , b ), равна определённому интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b :

Доказательство: Используем соотношение

P (a ≤ X b ) = F (b ) – F (a ).

По формуле Ньютона-Лейбница,

Таким образом,

Так как P (a ≤ X b )= P (a X b ) , то окончательно получим

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a , b ), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox , кривой распределения f (x ) и прямыми x = a и x = b .

Замечание: В частности, если f (x ) – чётная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то

Пример. Задана плотность вероятности случайной величины Х

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащие интервалу (0,5; 1).

Решение: Искомая вероятность

Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

Зная плотность распределения f (x ) , можно найти функцию распределения F (x ) по формуле

Действительно, F (x ) = P (X x ) = P (-∞ X x ) .

Следовательно,

Таким образом, зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения можно найти плотность распределения , а именно:

f (x ) = F "(x ).

Пример. Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

Решение: Воспользуемся формулой

Если x ≤ a , то f (x ) = 0 , следовательно, F (x ) = 0 . Если a , то f(x) = 1/(b-a) ,

следовательно,

Если x > b , то

Итак, искомая функция распределения

Замечание: Получили функцию распределения равномерно распределенной случайной величины (см. равномерное распределение).

Свойства плотности распределения

Свойство 1: Плотность распределения - неотрицательная функция:

f ( x ) ≥ 0 .

Свойство 2: Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до ∞ равен единице:

Замечание: График плотности распределения называют кривой распределения .

Замечание: Плотность распределения непрерывной случайной величины также называют законом распределения.

Пример. Плотность распределения случайной величины имеет следующий вид:

Найти постоянный параметр a .

Решение: Плотность распределения должна удовлетворять условию , поэтому потребуем, чтобы выполнялось равенство

Отсюда
. Найдём неопределённый интеграл:

Вычислим несобственный интеграл:

Таким образом, искомый параметр

Вероятный смысл плотности распределения

Пусть F (x ) – функция распределения непрерывной случайной величины X . По определению плотности распределения, f (x ) = F "(x ) , или

Разность F (x +∆х) - F (x ) определяет вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (x , x +∆х) . Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (x , x +∆х) , к длине этого интервала (при ∆х→0 ) равен значению плотности распределения в точке х .

Итак, функция f (x ) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х . Из дифференциального исчисления известно,что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т.е.

Так как F "(x ) = f (x ) и dx = ∆ x , то F (x +∆ x ) - F (x ) ≈ f (x )∆ x .

Вероятностный смысл этого равенства таков: вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу (x , x +∆ x ) ,приближенно равна произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала ∆х .

Геометрически этот результат можно истолковать так : вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу (x , x +∆ x ) ,приближенно равна площади прямоугольника с основанием ∆х и высотой f (x ).

5. Типовые распределения дискретных случайных величин

5.1. Распределение Бернулли

Определение5.1: Случайная величина X , принимающая два значения 1 и 0 с вероятностями (“успеха”) p и (“неуспеха”) q , называется Бернуллиевской :

, где k =0,1.

5.2. Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться или не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна p (следовательно, вероятность непоявления q = 1 - p ).

Рассмотрим случайную величину X – число появлений события A в этих испытаниях. Случайная величина X принимает значения 0,1,2,… n с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли: , где k = 0,1,2,… n .

Определение5.2: Биномиальным называют раcпределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

Пример. По мишени производится три выстрела, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти ее ряд распределения.

Решение: Случайная величина X принимает значения 0,1,2,3 с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли, где n = 3, p = 0,8 (вероятность попадания), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (вероятность непопадания).

Таким образом, ряд распределения имеет следующий вид:

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, поэтому для подсчета соответствующих вероятностей используют локальную теорему Лапласа, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Локальная теорема Лапласа : Если вероятность p появления события A
того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n ) значению функции
, где
,
.

Замечание1: Таблицы, в которых помещены значения функции
, даны в приложении 1, причем
. Функция является плотностью стандартного нормального распределения (смотри нормальное распределение).

Пример: Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение: По условию n = 400, k = 80, p = 0,2 , q = 0,8 . Вычислим определяемое данными задачи значение x :
. По таблице приложения 1 находим
. Тогда искомая вероятность будет:

Если нужно вычислить вероятность того, что событие A появится в n испытаниях не менее k 1 раз и не более k 2 раз, то нужно использовать интегральную теорему Лапласа:

Интегральная теорема Лапласа : Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность
того, что событие A появится в n испытаниях от k 1 до k 2 раз, приближенно равна определенному интегралу

, где
и
.

Другими словами, вероятность того, что событие A появится в n испытаниях от k 1 до k 2 раз, приближенно равна

где
, и .

Замечание2: Функцию
называют функцией Лапласа (смотри нормальное распределение). Таблицы, в которых помещены значения функции , даны в приложении 2, причем
.

Пример: Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей, если вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2.

Решение: По условию n = 400, p = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

;
.

Таким образом, имеем:

По таблице приложения 2 находим, что
и . Тогда искомая вероятность равна:

Замечание3: В сериях независимых испытаний (когда n велико, p мало) для вычисления вероятности наступления события ровно k раз используют формулу Пуассона (смотри распределение Пуассона).

5.3. Распределение Пуассона

Определение5.3: Дискретную случайную величину называют Пуассоновской, если ее закон распределения имеет следующий вид:

, где
и
(постоянное значение).

Примеры Пуассоновских случайных величин:

Число вызовов на автоматическую станцию за промежуток времени T .

Число частиц распада некоторого радиоактивного вещества за промежуток времени T .

Число телевизоров, которые поступают в мастерскую за промежуток времени T в большом городе.

Число автомобилей, которые поступят к стоп-линии перекрестка в большом городе.

Замечание1: Специальные таблицы для вычисления данных вероятностей приведены в приложении 3.

Замечание2: В сериях независимых испытаний (когда n велико, p мало) для вычисления вероятности наступления события ровно k раз используют формулу Пуассона:
, где
, то есть среднее число появлений событий остается постоянным.

Замечание3: Если есть случайная величина, которая распределена по закону Пуассона, то обязательно есть случайная величина, которая распределена по показательному закону и, наоборот (см. Показательное распределение).

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002 . Найти вероятность, что на базу прибудут ровно три негодных изделия.

Решение: По условию n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Найдем λ: λ = np = 5000·0,0002 = 1 .

По формуле Пуассона искомая вероятность равна:

, где случайная величина X – число негодных изделий.

5.4. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна p (0 p

q = 1 - p . Испытания заканчиваются, как только появится событие А . Таким образом, если событие А появилось в k -м испытании, то в предшествующих k – 1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А . Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа х 1 = 1, х 2 = 2, …

Пусть в первых k -1 испытаниях событие А не наступило, а в k -м испытании появилось. Вероятность этого “сложного события”, по теореме умножения вероятностей независимых событий, P (X = k ) = q k -1 p .

Определение5.4: Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение , если ее закон распределения имеет следующий вид:

P ( X = k ) = q k -1 p , где
.

Замечание1: Полагая k = 1,2,… , получим геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (0q . По этой причине распределение называют геометрическим.

Замечание2: Ряд
сходится и сумма его равна единице. Действительно сумма ряда равна
.

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель p = 0,6 . Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение: По условию p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Искомая вероятность равна:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Гипергеометрическое распределение

Рассмотрим следующую задачу. Пусть в партии из N изделий имеется M стандартных (M N ). Из партии случайно отбирают n изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь не применима).

Обозначим через X случайную величину – число m стандартных изделий среди n отобранных. Тогда возможными значениями X будут 0, 1, 2,…, min ; обозначим их и, ... по значениям независимой переменной (Fonds) воспользуемся кнопкой (раздел ...

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Общий психологический практикум»

Учебно-методический комплекс

... методические указания по выполнению практических работ 5.1 Методические рекомендации по выполнению учебных проектов 5.2 Методические рекомендации по ... чувствительности), одномерного и многомерного... случайного компонента в величине ... с разделом «Представление...

Учебно-методический комплекс по дисциплине физика (название)

Учебно-методический комплекс

... разделов в учебниках. Решение задач по каждой теме. Проработка методических указаний к лабораторным работам по ... случайной и приборной погрешности измерений 1.8 Тематика контрольных работ и методические указания по ... Частица в одномерной потенциальной яме. ...

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине информатика

Методические указания

... Методические указания к ЛАБОРАТОРНым РАБОТАМ по ... величиной , а наибольшей суммой величин ... массива случайными числами... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 а) одномерный массив б) двумерный массив Рис. 2– Файлы... описываются в разделе реализации после...

В отличие от дискретной случайной величины непрерывные случайные величины невозможно задать в виде таблицы ее закона распределения поскольку невозможно перечислить и выписать в определенной последовательностей все ее значения. Одним из возможных способов задания непрерывной случайной величины является использование функции распределения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е.

Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция».

Свойства функции распределения:

1. Значения функции распределения принадлежит отрезку : 0F(x)1
2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x 2)F(x 1), если x 2 >x 1

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(aX

Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0

Решение: Так как на интервале (0;2) по условию, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2. Итак, P(0

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при xa; 2) F(x)=1 при xb.
Справедливы следующие предельные соотношения:

График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство). При возрастании х в интервале (а;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх». При xa ординаты графика равны нулю; при xb ординаты графика равны единице:

Рисунок-1

Пример 10. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:

X	1	4	8
P	0.3	0.1	0.6

Найти функцию распределения и построить ее график.
Решение: Функция распределения аналитически может быть записана так:

Рисунок-2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x): f(x)=F"(x)

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а;b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

(8)

Свойства плотности распределения вероятностей:

1. Плотность вероятностей является неотрицательной функцией: f(x)0.
2. Определенный интеграл от -∞ до +∞ от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен 1: f(x)dx=1.
3. Определенный интеграл от -∞ до x от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен функции распределения этой величины: f(x)dx=F(x)

Пример 11. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины Х

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5;1).

Решение: Искомая вероятность:

Распространим определение числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл:

M(x)=xf(x)dx (9)

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то:

M(x)=xf(x)dx (10)

Модой M 0 (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.

Медианой M e (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством:

P{X e (X)}=P{X>M e (X)}

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку , то:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
или
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Если возможные значения принадлежат всей оси х, то.

(НСВ )

Непрерывной называют случайную величину, возможные значения которой непрерывно занимают некоторый интервал.

Если дискретная величина может быть задана перечнем всех её возможных значений и их вероятностей, то непрерывную случайную величину, возможные значения которой сплошь занимают некоторый интервал (а , b ) задать перечнем всех возможных значений невозможно.

Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Х примет значение, меньшее х , т.е. вероятность события Х < х , обозначим через F (x ). Если х изменяется, то, конечно, изменяется и F (x ), т.е. F (x ) – функция от х .

Функцией распределения называют функцию F (x ), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х , т.е.

F (x ) = Р (Х < х ).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (x ) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х .

Свойства функции распределения.

1 0 . Значения функции распределения принадлежат отрезку :

0 ≤ F (x ) ≤ 1.

2 0 . F (x ) – неубывающая функция, т.е.

F (x 2) ≥ F (x 1), если x 2 > x 1 .

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключённое в интервале (а , b ), равна приращению функции распределения на этом интервале:

Р (а < X < b ) = F (b ) − F (a ).

Пример. Случайная величина Х задана функцией распределения

F (x ) =

Случайна величина Х 0, 2).

Согласно следствию 1, имеем:

Р (0 < X <2) = F (2) − F (0).

Так как на интервале (0, 2), по условию, F (x ) = + , то

F (2) − F (0) = (+ ) − (+ ) = .

Таким образом,

Р (0 < X <2) = .

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определённое значение, равна нулю.

3 0 . Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а , b ), то

1). F (x ) = 0 при х ≤ а ;

2). F (x ) = 1 при х ≥ b .

Следствие. Если возможные значения НСВ расположены на всей числовой оси ОХ (−∞, +∞), то справедливы предельные соотношения:

Рассмотренные свойства позволяют представить общий вид графика функции распределения непрерывной случайной величины:

Функцию распределения НСВ Х часто называют интегральной функцией .

Дискретная случайная величина тоже имеет функцию распределения:

График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.

Пример. ДСВ Х задана законом распределения

Х 1 4 8

Р 0,3 0,1 0,6.

Найти её функцию распределения и построить график.

Если х ≤ 1, то F (x ) = 0.

Если 1 < x ≤ 4, то F (x ) = р 1 =0,3.

Если 4 < x ≤ 8, то F (x ) = р 1 + р 2 = 0,3 + 0,1 = 0,4.

Если х > 8, то F (x ) = 1 (или F (x ) = 0,3 + 0,1 + 0,6 = 1).

Итак, функция распределения заданной ДСВ Х :

График искомой функции распределения:

НСВ можно задать плотностью распределения вероятностей.

Плотностью распределения вероятностей НСВ Х называют функцию f (x ) – первую производную от функции распределения F (x ):

f (x ) = .

Функция распределения является первообразной для плотности распределения. Плотность распределения ещё называют: плотность вероятности, дифференциальной функцией .

График плотности распределения называют кривой распределения .

Теорема 1. Вероятность того, что НСВ Х примет значение, принадлежащее интервалу (а , b ), равна определённому интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b :

Р (а < X < b ) = .

○ Р (а < X < b ) = F (b ) −F (a ) == . ●

Геометрический смысл: вероятность того, что НСВ примет значение, принадлежащее интервалу (а , b ), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ , кривой распределения f (x ) и прямыми х =а и х =b .

Пример. Задана плотность вероятности НСВ Х

f (x ) =

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5;1).

Р (0,5 < X < 1) = 2= = 1 – 0,25 = 0,75.

Свойства плотности распределения :

1 0 . Плотность распределения - неотрицательная функция:

f (x ) ≥ 0.

2 0 . Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от −∞ до +∞ равен единице:

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а , b ), то

Пусть f (x ) – плотность распределения, F (х ) – функция распределения, тогда

F (х ) = .

○ F (x ) = Р (Х < х ) = Р (−∞ < X < х ) = = , т.е.

F (х ) = . ●

Пример (*). Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

f (x ) =

Построить график найденной функции.

Известно, что F (х ) = .

Если, х ≤ а , то F (х ) = = == 0;

Если а < x ≤ b , то F (х ) = =+ = = .

Если х > b , то F (х ) = =+ + = = 1.

F (x ) =

График искомой функции:

Числовые характеристики НСВ

Математическим ожиданием НСВ Х , возможные значения которой принадлежат отрезку [a , b ], называют определённый интеграл

М (Х ) = .

Если все возможные значения принадлежат всей оси ОХ , то

М (Х ) = .

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно.

Дисперсией НСВ Х называют математическое ожидание квадрата её отклонения.

Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a , b ], то

D (X ) = ;

Если возможные значения Х принадлежат всей числовой оси (−∞; +∞), то

D (X ) = .

Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы:

D (X ) = − [M (X )] 2 ,

D (X ) = − [M (X )] 2 .

Среднее квадратическое отклонение НСВ Х определяется равенством

(Х ) = .

Замечание. Свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ сохраняются и для НСВ Х .

Пример. Найти М (Х ) и D (X ) случайной величины Х , заданной функцией распределения

F (x ) =

Найдём плотность распределения

f (x ) = =

Найдём М (Х ):

М (Х ) = = = = .

Найдём D (X ):

D (X ) = − [M (X )] 2 = − = − = .

Пример (**). Найти М (Х ), D (X ) и (X ) случайной величины Х , если

f (x ) =

Найдём М (Х ):

М (Х ) = = =∙= .

Найдём D (X ):

D (X ) =− [M (X )] 2 =− = ∙−=.

Найдем (Х ):

(Х ) = = = .

Теоретические моменты НСВ.

Начальный теоретический момент порядка k НСВ Х определяется равенством

ν k = .

Центральный теоретический момент порядка k НСВ Х определяется равенством

μ k = .

В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a , b ), то

ν k = ,

μ k = .

Очевидно:

k = 1: ν 1 = M (X ), μ 1 = 0;

k = 2: μ 2 = D (X ).

Связь между ν k и μ k как и у ДСВ :

μ 2 = ν 2 − ν 1 2 ;

μ 3 = ν 3 − 3ν 2 ν 1 + 2ν 1 3 ;

μ 4 = ν 4 − 4ν 3 ν 1 + 6 ν 2 ν 1 2 − 3ν 1 4 .

Законы распределения НСВ

Плотности распределения НСВ называют также законами распределения .

Закон равномерного распределения.

Распределение вероятностей называют равномерным , если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Плотность вероятности равномерного распределения:

f (x ) =

Её график:

Из примера (*) следует, что функция распределения равномерного распределения имеет вид:

F (x ) =

Её график:

Из примера (**) следуют числовые характеристики равномерного распределения:

М (Х ) = , D (X ) = , (Х ) = .

Пример. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3-х минут.

Случайная величина Х – время ожидания автобуса подошедшим пассажиром. Её возможные значения принадлежат интервалу (0; 5).

Так как Х – равномерно распределённая величина, то плотность вероятности:

f (x ) = = = на интервале (0; 5).

Чтобы пассажир ожидал очередной автобус менее 3-х минут, он должен подойти к остановке в промежуток времени от 2 до 5 минут до прихода следующего автобуса:

Следовательно,

Р (2 < X < 5) == = = 0,6.

Закон нормального распределения.

Нормальным называют распределение вероятностей НСВ Х

f (x ) = .

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и σ .

Числовые характеристики:

М (Х ) == = =

= = + = а ,

т.к. первый интеграл равен нулю (подынтегральная функция нечётная, второй интеграл – это интеграл Пуассона, который равен .

Таким образом, М (Х ) = а , т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а .

Учитывая, что М (Х ) = а , получим

D (X ) = = =

Таким образом, D (X ) = .

Следовательно,

(Х ) = = = ,

т.е. среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .

Общими называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и (> 0).

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а = 0 и = 1. Например, если Х – нормальная величина с параметрами а и , то U = − нормированная нормальная величина, причём М (U ) = 0, (U ) = 1.

Плотность нормированного распределения:

φ (x ) = .

Функция F (x ) общего нормального распределения:

F (x ) = ,

а функция нормированного распределения:

F 0 (x ) = .

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса ):

Изменение параметра а ведет к сдвигу кривой вдоль оси ОХ : вправо, если а возрастает, и влево, если а убывает.

Изменение параметра ведет: с возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится пологой; при убывании нормальная кривая становится более “островершинной” и растягивается в положительном направлении оси OY :

Если а = 0, а = 1, то нормальную кривую

φ (x ) =

называют нормированной .

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что Х

Р (α < X < β ) = = =

Используя функцию Лапласа

Φ (х ) = ,

Окончательно получим

Р (α < X < β ) = Φ () − Φ ().

Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х

По условию, α =10, β =50, а =30, =1.

Р (10< X < 50) = Φ () − Φ () = 2Φ (2).

По таблице: Φ (2) = 0,4772. Отсюда

Р (10< X < 50) = 2∙0,4772 = 0,9544.

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределённой случайной величины Х по абсолютной величине меньше заданного δ > 0, т.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства | X − a | < δ :

Р (| X − a | < δ ) = Р (a − δ < X < a + δ ) = Φ () − Φ () =

= Φ () − Φ () = 2Φ ().

В частности, при а = 0:

Р (| X | < δ ) = 2Φ ().

Пример. Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше 3.

По условию, δ = 3, а = 20, =10. Тогда

Р (| X − 20| < 3) = 2 Φ () = 2Φ (0,3).

По таблице: Φ (0,3) = 0,1179.

Следовательно,

Р (| X − 20| < 3) = 0,2358.

Правило трёх сигм.

Известно, что

Р (| X − a | < δ ) = 2Φ ().

Пусть δ = t , тогда

Р (| X − a | < t ) = 2Φ (t ).

Если t = 3 и, следовательно, t = 3, то

Р (| X − a | < 3) = 2Φ (3) = 2∙ 0,49865 = 0,9973,

т.е. получили практически достоверное событие.

Суть правила трёх сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трёх сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестен, но условие, указанное в приведённом правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

Центральная предельная теорема Ляпунова.

Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

Пример. □ Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближённое значение измеряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную “частную ошибку”. Однако, поскольку число этих факторов очень велико, то их совокупное действие порождает уже заметную “суммарную ошибку”.

Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить, что суммарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному. Опыт подтверждает справедливость такого заключения. ■

Запишем условия, при которых сумма большого числа независимых слагаемых имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть Х 1 , Х 2 , …, Х п − последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию:

М (Х k ) = a k , D (Х k ) = .

Введём обозначения:

S n = , A n = , B n = .

Обозначим функцию распределения нормированной суммы через

F п (x ) = P (< x ).

Говорят, что к последовательности Х 1 , Х 2 , …, Х п применима центральная предельная теорема, если при любых х функция распределения нормированной суммы при п → ∞ стремится к нормальной функции распределения:

Закон показательного распределения.

Показательным (экспоненциальным ) называют распределение вероятностей НСВ Х , которое описывается плотностью

f (x ) =

где λ – постоянная положительная величина.

Показательное распределение определяется одним параметром λ .

График функции f (x ):

Найдём функцию распределения:

если, х ≤ 0, то F (х ) = = == 0;

если х ≥ 0, то F (х ) == += λ∙ = 1 − е −λх .

Итак, функция распределения имеет вид:

F (x ) =

График искомой функции:

Числовые характеристики:

М (Х ) == λ = = .

Итак, М (Х ) = .

D (X ) =− [M (X )] 2 = λ − = = .

Итак, D (X ) = .

(Х ) = = , т.е. (Х ) = .

Получили, что М (Х ) = (Х ) = .

Пример. НСВ Х

f (x ) = 5е −5х при х ≥ 0; f (x ) = 0 при х < 0.

Найти М (Х ), D (X ), (Х ).

По условию, λ = 5. Следовательно,

М (Х ) = (Х ) = = = 0,2;

D (X ) = = = 0,04.

Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределённой случайной величины.

Пусть случайная величина Х распределена по показательному закону. Тогда вероятность того, что Х примет значение из интервала ), равна

Р (а < X < b ) = F (b ) − F (a ) = (1 − е −λ b ) − (1 − е −λ a ) = е −λ a − е −λ b .

Пример. НСВ Х распределена по показательному закону

f (x ) = 2е −2х при х ≥ 0; f (x ) = 0 при х < 0.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала ).

По условию, λ = 2. Тогда

Р (0,3 < X < 1) = е − 2∙0,3 − е − 2∙1 = 0,54881− 0,13534 ≈ 0,41.

Показательное распределение широко применяется в приложениях, в частности в теории надёжности.

Будем называть элементом некоторое устройство независимо от того, “простое” оно или “сложное”.

Пусть элемент начинает работать в момент времени t 0 = 0, а по истечении времени t происходит отказ. Обозначим через Т непрерывную случайную величину – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее t , то, следовательно, за время длительностью t наступит отказ.

Таким образом, функция распределения F (t ) = Р (T < t ) определяет вероятность отказа за время длительностью t . Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время длительностью t , т.е. вероятность противоположного события T > t , равна

R (t ) = Р (T > t ) = 1− F (t ).

Функцией надёжности R (t ) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t :

R (t ) = Р (T > t ).

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого

F (t ) = 1 − е −λ t .

Следовательно, функция надёжности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента имеет вид:

R (t ) = 1− F (t ) = 1− (1 − е −λ t ) = е −λ t .

Показательным законом надёжности называют функцию надёжности, определяемую равенством

R (t ) = е −λ t ,

где λ – интенсивность отказов.

Пример. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону

f (t ) = 0,02е −0,02 t при t ≥0 (t – время).

Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

По условию, постоянная интенсивность отказов λ = 0,02. Тогда

R (100) = е − 0,02∙100 = е − 2 = 0,13534.

Показательный закон надёжности обладает важным свойством: вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t (при заданной интенсивности отказов λ ).

Другими словами, в случае показательного закона надёжности безотказная работа элемента “в прошлом” не сказывается на величине вероятности его безотказной работы “в ближайшем будущем”.

Указанным свойством обладает только показательное распределение. Поэтому, если на практике изучаемая случайная величина этим свойством обладает, то она распределена по показательному закону.

Закон больших чисел

Неравенство Чебышева.

Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от её математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε , не меньше, чем 1 – :

Р (|X – M (X )| < ε ) ≥ 1 – .

Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку.

Теоретическое значение неравенства Чебышева весьма велико.

Неравенство Чебышева справедливо для ДСВ и НСВ .

Пример. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за время Т окажется меньше двух.

Пусть Х – число отказавших элементов за время Т .

Среднее число отказов – это математическое ожидание, т.е. М (Х ).

М (Х ) = пр = 10∙0,05 = 0,5;

D (X ) = npq =10∙0,05∙0,95 = 0,475.

Воспользуемся неравенством Чебышева:

Р (|X – M (X )| < ε ) ≥ 1 – .

По условию, ε = 2. Тогда

Р (|X – 0,5| < 2) ≥ 1 – = 0,88,

Р (|X – 0,5| < 2) ≥ 0,88.

Теорема Чебышева.

Если Х 1 , Х 2 , …, Х п – попарно независимые случайные величины, причём дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С ), то, как бы мало ни было положительное число ε , вероятность неравенства

|− | < ε

Будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико или, другими словами,

− | < ε ) = 1.

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Если М (Х 1) = М (Х 2) = …= М (Х п ) = а , то, в условиях теоремы, будет иметь место равенство

− а | < ε ) = 1.

Сущность теоремы Чебышева такова: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения далёкие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения близкие к определенному постоянному числу (или к числу а в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительны разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

Для практики теорема Чебышева имеет неоценимое значение: измерение некоторой физической величины, качества, например, зерна, хлопка и другой продукции и т.д.

Пример. Х 1 , Х 2 , …, Х п задана законом распределения

Х п −пα 0 пα

Р 1 −

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Для того, чтобы к последовательности случайных величин была применима теорема Чебышева, достаточно, чтобы эти величины: 1. были попарно независимыми; 2). имели конечные математические ожидания; 3). имели равномерно ограниченные дисперсии.

1). Так как случайные величины независимы, то они подавно попарно независимы.

2). М (Х п ) = −пα ∙+ 0∙(1 − ) +

Теорема Бернулли.

Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если ε – сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

− р | < ε ) = 1.

Теорема Бернулли утверждает, что при п → ∞ относительная частота стремится по вероятности к р. Коротко теорему Бернулли можно записать в виде:

Замечание. Последовательность случайных величин Х 1 , Х 2 , … сходится по вероятности к случайной величине Х , если для любого сколь угодно малого положительного числа ε вероятность неравенства | Х n – Х | < ε при п → ∞ стремится к единице.

Теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.

Цепи Маркова

Цепью Маркова называют последовательность испытаний, в каждом из которых появляется только одно из k несовместных событий А 1 , А 2 ,…, А k полной группы, причём условная вероятность р ij (S ) того, что в S -м испытании наступит событие А j (j = 1, 2,…, k ), при условии, что в (S – 1)-м испытании наступило событий А i (i = 1, 2,…, k ), не зависит от результатов предшествующих испытаний.

Пример. □ Если последовательность испытаний образует цепь Маркова и полная группа состоит из 4 несовместных событий А 1 , А 2 , А 3 , А 4 , причём известно, что в 6-м испытании появилось событие А 2 , то условная вероятность того, что 7-м испытании наступит событие А 4 , не зависит от того, какие события появились в 1-м, 2-м,…, 5-м испытаниях. ■

Ранее рассмотренные независимые испытания являются частным случаем цепи Маркова. Действительно, если испытания независимы, то появление некоторого определенного события в любом испытании не зависит от результатов ранее произведенных испытаний. Отсюда следует, что понятие цепи Маркова является обобщением понятия независимых испытаний.

Запишем определение цепи Маркова для случайных величин.

Последовательность случайных величин Х t , t = 0, 1, 2, …, называется цепью Маркова с состояниями А = { 1, 2, …, N }, если

, t = 0, 1, 2, …,

и при любых ( п, .,

Распределение вероятностей Х t в произвольный момент времени t можно найти, воспользовавшись формулой полной вероятности

Математическое ожидание

Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .

Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .

Задана плотность распределения f(x):

Задана функция распределения F(x):

Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .

Случайную величину X называют непрерывной , если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.
2. Условие нормировки:

Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле

Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:

Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть , получим Р(Х≥3) = 1-0.5 = 0.5;

г) сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому Р(Х≥5)+Р(Х<5)=1. Отсюда, используя условие, в силу которого при х>4 функция F(x)=1, получим Р(Х≥5) = 1-Р(Х<5) = 1-F(5) = 1-1 = 0.

Случайная величина Х задана функцией распределния

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0.25, 0.75).

Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a

P(0.25< X <0.75) = F(0.75)-F(0.25) = 0.5

Следовательно, , или Отсюда , или.

Случайная величина X задана на всей оси Ox функцией распределения . Найти возможное значения , удовлетворяющее условию: с вероятностью случайная X в результате испытания примет значение большее

Решение. События и - противоложные, поэтому . Следовательно, . Так как , то .

По определению функции распределения, .

Следовательно, , или . Отсюда , или.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения

Итак, искомая функция распределения имеет вид

Дискретная случайная величина X задана законом распределения

Найти функцию распределения и начертить ее график.

Дана функция распределения непрерывной случайной величины X

Найти плотность распределения f(x).

Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

При x=0 производная не существует.

Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала . Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу .

Воспользуемся формулой . По условию ,и . Следовательно, искомая вероятность

Плотность распределения непрерывной случайной величины Х в интервале (-π/2, π/2) равна f(x)=(2/π)*cos2x ; вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях Х примет ровно два раза значение, заключенное в интервале (0, π/4).

Воспользуемся формулой Р(a

Р(0

Ответ: π+24π.

fx=0, при x≤0cosx, при 0

Используем формулу

Если х ≤0, то f(x)=0, следовательно,

F(x)=-∞00dx=0.

Если 0

F(x)=-∞00dx+0xcosxdx=sinx.

Если x≥ π2 , то

F(x)=-∞00dx+0π2cosxdx+π2x0dx=sinx|0π2=1.

Итак, искомая функция распределения

Fx=0, при x≤0sinx, при 0 π2.

Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Fx=0, при x≤0sinx, при 0 π2.

Найти функцию распределения F(x).

Используем формулу

Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана на всей оси Ох равеством . Найти постоянный параметр С.

. (*)

Таким образом,

Плотность распределения непрерывной случайной величины задана на всей оси равенством Найти постоянный параметр С.

Решение. Плотность распределения должна удовлетворять условию . Потребуем, чтобы это условие выполнялось для заданной функции:

. (*)

Найдем сначала неопределенный интеграл:

Затем вычислим несобственный интеграл:

Таким образом,

Подставив (**) в (*), окончательно получим .

Плотность распределения непрерывной случайной величины X в интервале равна ; вне этого интервала f(х) = 0. Найти постоянный параметр С.

. (*)

Найдем сначала неопределенный интеграл:

Затем вычислим несобственный интеграл:

(**)

Подставив (**) в (*), окончательно получим .

Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана в интервале равенством ; вне этого интервала f(х) = 0. Найти постоянный параметр С.

Решение. Плотность распределения должна удовлетворять условию , но так как f(x) вне интервала равна 0 достаточно, чтобы она удовлетворяла: Потребуем, чтобы это условие выполнялось для заданной функции:

. (*)

Найдем сначала неопределенный интеграл:

Затем вычислим несобственный интеграл:

(**)

Подставив (**) в (*), окончательно получим .

Случайная величина X задана плотностью распределения ƒ(x) = 2x в интервале (0,1); вне этого интервала ƒ(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.

Решение. Используем формулу

Подставив a = 0, b = 1, ƒ(x) = 2x, получим

Ответ: 2/3.

Случайная величина X задана плотностью распределения ƒ(x) = (1/2)x в интервале (0;2); вне этого интервала ƒ(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.

Решение. Используем формулу

Подставив a = 0, b = 2, ƒ(x) = (1/2)x, получим

М (Х) = = 4/3

Ответ: 4/3.

Случайная величина X в интервале (–с, с) задана плотностью распределения

ƒ(x) = ; вне этого интервала ƒ(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.

Решение. Используем формулу

Подставив a = –с, b = c, ƒ(x) = , получим

Учитывая, что подынтегральная функция нечетная и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат, заключаем, что интеграл равен нулю. Следовательно, М(Х) = 0.

Этот результат можно получить сразу, если принять во внимание, что кривая распределения симметрична относительно прямой х = 0.

Случайная величина Х в интервале (2, 4) задана плотностью распределения f(x)=

. Отсюда видно, что при х=3 плотность распределения достигает максимума; следовательно, . Кривая распределения симметрична относительно прямой х=3, поэтому и .

Случайная величина Х в интервале (3, 5) задана плотностью распределения f(x)=; вне этого интервала f(x)=0. Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.

Решение. Представим плотность распределения в виде . Отсюда видно, что при х=3 плотность распределения достигает максимума; следовательно, . Кривая распределения симметрична относительно прямой х=4, поэтому и .

Случайная величина Х в интервале (-1, 1) задана плотностью распределения ; вне этого интервала f(x)=0. Найти: а) моду; б) медиану Х.

Категории

Популярное